[FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour Noël

Ici, on fait dans le petit, le LCD qui déchire sa race, on y cause même calculatrices quand on est en manque !

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Thierry Loiseau
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[FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour Noël

Message par Thierry Loiseau »

Bonjour,

Voici un petit programme qui permet de représenter sous forme de fraction un nombre avec une suite illimitée.
Par exemple, 1,0363636... (10 avec un décalage d'1 chiffre après la virgule et la répétition de 36) donne 57/55.

Ma version pour FX-702P (explication sur la formule utilisée — ligne 40 et 50 du programme — ici) :
(avec détermination du PGCD pour une possible réduction de la fraction)

Image

Le code FX-702P :

Code : Tout sélectionner

 10 INP "NB NON REPETE:",N
 20 INP "NB CH NON REP:",B
 30 INP "SEQUENCE REPETEE:",R:A=INT LOG R+1
 40 X=N*(10^A-1)+R
 50 Y=10^B*(10^A-1)
 60 PRT "FRAC:";X;" /";Y:A=X:B=Y
 70 Q=INT (A/B):R=A-Q*B
 80 IF R>1;A=B:B=R:GOTO 70
 90 IF R=0;X=X/B:Y=Y/B:PRT "PGCD:";B;:PRT ">";X;" /";Y
100 END
... je vais m'essayer à retranscrire le programme pour la FX-602P :)

À vos pockets et joyeuses fêtes de fin d'année !!

NB : la séquence répétée ne commence évidemment pas par zéro...
Modifié en dernier par Thierry Loiseau le 26 déc. 2016 22:18, modifié 5 fois.
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par steste »

salut!


Salut Thierry, une version pour
la TI-66 ?


Possible ?


ste

...
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Thierry Loiseau
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par Thierry Loiseau »

Désolé... mais je n'ai pas de TI66... Pour l'instant, je bidouille ma 602. Tu ne trouves pas le programme suffisamment clair ? :(
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par Thierry Loiseau »

Ma version pour la FX-602P... Ça marche bien mais j'ai l'impression ça pourrait être bien optimisé...

Image

Dans cette version, il n'y a qu'une fraction d'affichée... et donc avant elle le PGCD si il a été trouvé.

Le code FX-602P :

Code : Tout sélectionner

  2 MinF
  "N:" HLT Min01
  "b:" HLT Min02
  "seq:" HTL Min03 
  log INT + 1 = Min04
  MR01 * (MR04 10^x-1) + MR03 = Min05
  MR02 10^x * (MR04 10^x-1) = Min06 
  MR05 Min07
  MR06 Min08
LBL0
  MR07 ÷ MR08 = INT Min09 ± * MR08 + MR07 = Min03
  x≥F GOTO1
  GOTO2
LBL1
  MR08 Min07
  MR03 Min08
  GOTO0
LBL2
  MR03 x=0 GOTO3
  GOTO4
LBL3
  MR08 "PGCD=#" HLT
  MR05 ÷ MR08 = Min05
  MR06 ÷ MR08 = Min06
LBL4
  MR05 "#/" HLT
  MR06 ";#" HLT
AC
Modifié en dernier par Thierry Loiseau le 26 déc. 2016 22:11, modifié 1 fois.
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par Thierry Loiseau »

Thierry Loiseau a écrit : Le code FX-702P :

Code : Tout sélectionner

 10 INP "NB NON REPETE:",N
 20 INP "NB CH NON REP:",B
 30 INP "SEQUENCE REPETEE:",R:A=INT LOG R+1
 40 X=N*(10^A-1)+R
 50 Y=10^B*(10^A-1)
 60 PRT "FRAC:";X;" /";Y:A=X:B=Y
 70 Q=INT (A/B):R=A-Q*B
 80 IF R>1;A=B:B=R:GOTO 70
 90 IF R=0;X=X/B:Y=Y/B:PRT "PGCD:";B;:PRT ">";X;" /";Y
100 END
Le code FX-702P version 2 :

Code : Tout sélectionner

 10 INP "NB NON REPETE:",N:INP "NB CH DECALE:",B:INP "SEQUENCE:",R
 20 A=INT LOG R+1:X=N*(10^A-1)+R:Y=10^B*(10^A-1)
 30 PRT "FRAC:";X;" /";Y:A=X:B=Y
 40 R=A-INT(A/B)*B:IF R>1;A=B:B=R:GOTO 40
 50 IF R=0;PRT "PGCD:";B;">";X/B;" /";Y/B
 60 END
:)
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par Thierry Loiseau »

Ma version pour l'HP-41C :)

Image

Pour faciliter la programmation, j'affecte la commande BST à la touche TAN :

ASN "BST" 25

et l'appel au programme à la touche ∑+ :

ASN "FSI" 11

Note : [ correspond à APPEND et " MODE ALPHA
STO 01 = NOMBRE NON REPETE
STO 02 = NB DE CHIFFRE DECALE
STO 03 = NOMBRE REPETE
STO 04 = NOMBRE DE CHIFFRE COMPOSANT STO 03
STO 05 = X
STO 06 = Y
STO 07 = X réduit
STO 08 = Y réduit
STO 09 = PGCD

Le code HP-41C

Code : Tout sélectionner

01 LBL"FSI
02 FIX 0
03"N=?
04 AVIEW
05 STOP
06 STO 01
07"DECAL=?
08 AVIEW
09 STOP
10 STO 02
11"REPET=?
12 AVIEW
13 STOP
14 STO 03
15 LOG
16 INT
17 1
18 +
19 STO 04
20 RCL 04
21 10^X
22 1
23 -
24 RCL 01
25 *
26 RCL 03
27 +
28 STO 05
29 STO 07
30 RCL 04
31 10^X
32 1
33 -
34 RCL 02
35 10^X
36 *
37 STO 06
38 STO 08
39 GTO"PGCD
40 LBL"RESTE
41 RCL 07
42 RCL 08
43 /
44 INT
45 RCL 08
46 *
47 CHS
48 RCL 07
49 +
50 STO 09
51 RTN
52 LBL"PGCD
53 XEQ"RESTE
54 1
55 RCL 09
56 X<=Y?
57 GTO"SUITE
58 RCL 08
59 STO 07
60 RCL 09
61 STO 08
62 XEQ"PGCD
63 LBL"SUITE
64 RCL 09
65 X=0?
66 GTO"AFPGCD
67 1
68 STO 08
69 GTO"RESULT
70 LBL"AFPGCD
71 RCL 08
72 STO 09
73"PGCD=
74 ARCL 08
75 AVIEW
76 TONE 2
77 STOP
78 LBL"RESULT
79 RCL 05
80 ENTER
81 RCL 08
82 /
83 STO 07
84 RCL 06
85 RCL 08
86 /
87 STO 08
88 CLA
89 ARCL 07
90"[/
91 ARCL 08
92 AVIEW
93 BEEP
94 STOP
END
Exemple :

Code : Tout sélectionner

[∑+]
N=?
[5][1][1][R/S]
DECAL=?
[2][R/S]
REPET=?
[3][6][R/S]
PGCD=225. {bip}
[R/S]
225./44. {bip du BEEP mélodique}
Le résultat non réduit est : 50625 / 9900. Il se trouve que 225² = 50625... :)
Modifié en dernier par Thierry Loiseau le 28 déc. 2016 18:29, modifié 1 fois.
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par franck196569 »

Un programme de fraction analogue pour Pocket Sharp (13XX, 15XX, 1600, ...) :

1 CLEAR : INPUT G : H = G : I = INT H : X = G
2 IF ABS (G-INT G)<=1E-9*ABS G LET B=X : E=1 : GOTO 7
3 A=1 : B=I : D=0 : E=1
4 H=1/(H-I) : I=INT H
5 C=B*I+A : A=B : B=C : F=E*I+D : D=E : E=F
6 IF ABS (G-C/F)>1E-9*ABS G THEN 4
7 PRINT STR$ B;"/";STR$E : END
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par Thierry Loiseau »

Je ne comprends pas ton programme : tu ne fais qu'une entrée... Peux-tu donner quelques exemples ? :)
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par Thierry Loiseau »

Un émulateur sympa pour Mac OS X : X-41
HP-41CV... testé sur OS X 10.9.5...

Image

... bientôt : la version pour la FX-850P...
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par Thierry Loiseau »

franck196569 a écrit :Un programme de fraction analogue pour Pocket Sharp (13XX, 15XX, 1600, ...) :

1 CLEAR : INPUT G : H = G : I = INT H : X = G
2 IF ABS (G-INT G)<=1E-9*ABS G LET B=X : E=1 : GOTO 7
3 A=1 : B=I : D=0 : E=1
4 H=1/(H-I) : I=INT H
5 C=B*I+A : A=B : B=C : F=E*I+D : D=E : E=F
6 IF ABS (G-C/F)>1E-9*ABS G THEN 4
7 PRINT STR$ B;"/";STR$E : END
Thierry Loiseau a écrit :Je ne comprends pas ton programme : tu ne fais qu'une entrée... Peux-tu donner quelques exemples ? :)
Je viens de tester (programmation très similaire avec le FX-850P) et ça marche vraiment bien !! :!:

Le code FX-850P (version 1. franck196569 )

Code : Tout sélectionner

1 INPUT G:H=G:I= INTH:X=G
2 IF ABS(G-INTG)<=1E-9*ABSG THEN B=X:E=1:GOTO7
3 A=1:B=I:D=0:E=1
4 H=1/(H-I):I=INTH
5 C=B*I+A:A=B:B=C:F=E*I+D:D=E:E=F
6 IF ABS(G-C/F)>1E-9*ABSG THEN 4
7 PRINT B;"/";E:END
Ici, la syntaxe "GOTO 7", "INT G" ou "ABS G" peut se dispenser de l'espace... puis le chaînage des chiffres et des lettres dans le PRINT... Belle algorithme en tout cas où l'approximation semble bien suffisante !! :slime:
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par Thierry Loiseau »

franck196569, peux-tu expliquer la procédure mathématique et donner l'algorithme :arrow: programme ?
Je veux tenter une version sur l'HP-41C...
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par franck196569 »

Mon programme met en fait sous forme fractionnelle tout nombre décimal.
Exemples : 2,22 donne 111/50
SQR 2 donne 47321/33461
2,555 donne 511/200
2,55555555 donne 5115642/2001773

etc ...
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par Thierry Loiseau »

Bon. Et comment déduis-tu cela ?

2.5550
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par franck196569 »

C'est également 511/200 ... ?
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Re: [FX-702P... etc] Fraction et réduction illimitées pour N

Message par C.Ret »

Thierry Loiseau a écrit :Bon. Et comment déduis-tu cela ?

2.5550
Je ne veux pas répondre à la place de franck196569, mais clairement son algorithme est basé sur une décomposition en fractions continues, (les registre H et I des lignes 1 et 4) fractions continues que l'on détermine pas à pas jusqu'à obtenir une valeur suffisamment proche du réel initial x (cf. test ligne 6).

Image

Ce qui est malin c'est que la fraction est exprimée à chaque pas sous la forme d'une somme de deux fractions dont on détermine le numérateur (registres A,B et E,F) et le dénominateur par inversions successives de ceux-ci (ligne 5).
Ce qui fait que dès que l'on estime être assez proche du nombre réel initial, il suffit d'afficher la fraction finale (ligne 7)

Je connaissait cet algorithme, mais avec un tableau intermédiaire (qui mémorise les a(i) des fractions continues) construit à partir de X (décomposition), puis une seconde partie effectuait les calcul des numérateur et dénominateur à partir des valeurs du tableau intermédiaire (recomposition).

Image

Le code proposé par franck est plus malin car il combine les deux étapes.


Pour 2.555 (ou 2.5550 d'ailleurs), on obtient la décomposition en fraction continue et recomposition en fraction simple suivante:

Code : Tout sélectionner

2.555 =   2. + 1/(   1/.555 )
2.555 =   2. + 1/(   1.8018 )
2.555 =   2. + 1/(   1. +  1/(  1/.801801 ))
2.555 =   2. + 1/(   1. +  1/(  1.2471910 ))
2.555 =   2. + 1/(   1. +  1/(  1. +  1/( 1/.2471910 )))
2.555 =   2. + 1/(   1. +  1/(  1. +  1/( 4.04545454 )))
2.555 =   2. + 1/(   1. +  1/(  1. +  1/( 4. +  1/( 1/.04545454 ))))
2.555 =   2. + 1/(   1. +  1/(  1. +  1/( 4. +  1/( 21.99999828 ))))
2.555 =   2. + 1/(   1. +  1/(  1. +  1/( 4. +  1/( 21. + 1/( 1/.99999828 )))))   etc.
2.555 = [ 2.         1.         1.        4.        21.       1.                .  .  .     ]

Code : Tout sélectionner

2.555 ≈ [ 2.         1.         1.        4.        21.       1.                   ]  
2.555 ≈   2. + 1/(   1. +  1/(  1. +  1/( 4. +  1/( 21. + 1/( 1. /    1.  )))))
2.555 ≈   2. + 1/(   1. +  1/(  1. +  1/( 4. +  1/( 21. + 1/  1.))))
2.555 ≈   2. + 1/(   1. +  1/(  1. +  1/( 4. +  1/(      22     ))))
2.555 ≈   2. + 1/(   1. +  1/(  1. +  1/((88.+  1)/22)))
2.555 ≈   2. + 1/(   1. +  1/(  1. +  1/(   89/22  )))
2.555 ≈   2. + 1/(   1. +  1/(  1. + 22/89 ))
2.555 ≈   2. + 1/(   1. +  1/((89. + 22)/89))
2.555 ≈   2. + 1/(   1. +  1/(   111/89    ))
2.555 ≈   2. + 1/(   1. + 89/111  )
2.555 ≈   2. + 1/((111. + 89)/111 )
2.555 ≈   2. + 1/(    200/111     )
2.555 ≈   2. +  111 / 200
2.555 ≈(400. +  111)/ 200
2.555 ≈     511 / 200
Le point central est l'approximation 1/.99999828 ≈ 1 qui permet de retrouver le résultat du code (qui utilise 1E-9).
Selon l'approximation utilisée, on obtiendra bien évidemment des fractions simples différentes. Les plus grands numérateurs et dénominateurs permettant des valeurs approchées plus proches de la valeur exacte.
Notons que dans certains cas, la suite de fraction continue s'arrête notamment lorsque qu'un inverse produit un entier. Dans ce cas, la valeur des fractions continues et de la fraction simple qui en découle produisent la valeur exacte.

Par exemple

Code : Tout sélectionner

0.5 = 0. + 1/( 1/.5 ) = [ 0. 2. ] = 0. + 1/2. = 1 / 2
3.5 = 3. + 1/( 1/.5 ) = [ 3. 2. ] = 3. + 1/2. = 7 / 2
2.555 permet d'illustrer l'importance de la série de fraction continue à retenir pour correctement approximer le résultat :

Code : Tout sélectionner

2.555 ≈ [ 2.]                                  =          2 / 1           = 2.
2.555 ≈ [ 2. 1.]                               =          3 / 1           = 3. 
2.555 ≈ [ 2. 1. 1.]                            =          5 / 2           = 2.5
2.555 ≈ [ 2. 1. 1. 4.]                         =         23 / 9           = 2.5555555555555555555555555
2.555 ≈ [ 2. 1. 1. 4. 21.]                     =        488 / 191         = 2.554973821989528795811518
2.555 ≈ [ 2. 1. 1. 4. 21. 1.]                  =        511 / 200         = 2.555 
2.555 ≈ [ 2. 1. 1. 4. 21. 1. 581395.]          =  297093333 / 116279191   = 2.55499999999570000448317532  
2.555 ≈ [ 2. 1. 1. 4. 21. 1. 581395. 2.]       =  594187177 / 232558582   = 2.554999999995700008181164 
2.555 ≈ [ 2. 1. 1. 4. 21. 1. 581395. 2. 1.]    =  891280510 / 348837773   = 2.554999999957000069485021
2.555 ≈ [ 2. 1. 1. 4. 21. 1. 581395. 2. 1. 6.] = 5941870237 / 23225585220 = 2.55499999995700007071
Modifié en dernier par C.Ret le 31 oct. 2017 08:22, modifié 5 fois.
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