Je ne sais pas le démontrer, mais les calculettes sur lesquelles les calculs complexes ont été implémentés nativement le savent bien. Par exemple avec Free42 :
s(-1) = 20,0002499922 i0 (environ)
s(-5000) = 21,0938136495 i0
Modérateur : Politburo
Je ne sais pas le démontrer, mais les calculettes sur lesquelles les calculs complexes ont été implémentés nativement le savent bien. Par exemple avec Free42 :
Comment mon programme sur HP-29E a-t-il pu rater ça ?casuffitdeschanel a écrit : ↑16 sept. 2021 17:16 Racine (100 - 96) + Racine (100 + 96) = 2 + 14 = 16, qui est en plus un carre ... donc n=9216 est un candidat, mais je ne sais pas prouver que pour que cette somme soit entière, il faut que les deux parties le soient aussi...
peut-être parce qu'il y a un contre-exemple qui est la réponse à la question initiale...casuffitdeschanel a écrit : ↑16 sept. 2021 17:16 mais je ne sais pas prouver que pour que cette somme soit entière, il faut que les deux parties le soient aussi...
Oui, c'est la clef qui ouvre la bonne porte...
Oui, utiliser une calculette capable de calculer des racines de nombres négatifs (c'est à dire des nombres complexes) est une des solutions envisageables pour répondre à la question subsidiaire.
casuffitdeschanel a écrit : ↑16 sept. 2021 17:16Racine (100 - 96) + Racine (100 + 96) = 2 + 14 = 16, qui est en plus un carre ... donc n=9216 est un candidat
J'ai bien une idée. Je crois que c'est parce que ton HP-29E est une brute !!
Code : Tout sélectionner
10 FOR N=1 TO 10000
12 S=SQRT(100-SQRT(N))+SQRT(100+SQRT(N))
14 IF S=INT(S) THEN PRINT N;S:PAUSE
16 NEXT N
Code : Tout sélectionner
from math import sqrt
for n in range(10000):
rac = sqrt(n + 1)
s = sqrt(100 - rac) + sqrt(100 + rac)
if s - int(s) < 1e-4: print(n + 1,s)
Code : Tout sélectionner
⊃ n /⍨ v = ⌊v ← (.5 *⍨ 100 - r) + .5 *⍨ 100 + r ← .5 *⍨ n ← ⍳1e4
6xxx
Code : Tout sélectionner
from math import sqrt
for n in range(10000):
s = sqrt(200 + 2 * sqrt(1e4 - n - 1))
if s - int(s) < 1e-4: print(n + 1,s)
Code : Tout sélectionner
⊃ n /⍨ v = ⌊v ← .5 *⍨ 2 × 100 + .5 *⍨ 1e4 - n ← ⍳1e4
6xxx
Code : Tout sélectionner
from math import sqrt
from cmath import *
n = 1
while True:
r = polar(sqrt(100 - sqrt(n) * 1j) + sqrt(100 + sqrt(n) * 1j))[0]
if r - int(r) < 1e-6: break
n += 1
print(-n)
-25344
Code : Tout sélectionner
1 288
4 180
9 448
16 900
25 1584
36 2548
49 3840
64 5508
81 7600
100 10164
Code : Tout sélectionner
rsolve(u(n+3)=48+3*u(n+2)-3*u(n+1)+u(n),u(n),u(1)=288,u(2)=180,u(3)=448)
Code : Tout sélectionner
u(n) = 4 * (n + 1)^2 * (2n + 1)
Bien vu, et très intéressant ! Je n'ai pas trouvé cette suite sur le site OEIS, par contre, à l'exception du premier terme, elle semble être un sous ensemble de la suite A045991.Schraf a écrit : ↑25 sept. 2021 15:32 Je me suis amusé à regarder ce qu'il se passait si au lieu de 100 on mettait autre chose, et plus particulièrement des carrés (1,4,25,36,49...). A priori on ne voit pas une suite évidente :
[...]Code : Tout sélectionner
1 288 4 180 9 448 16 900 25 1584 36 2548 49 3840 64 5508 81 7600 100 10164
Et finalement on arrive à l'expression (valable pour n >= 2) :Par exemple u(10) = 10164, u(100) = 8 201 604Code : Tout sélectionner
u(n) = 4 * (n + 1)^2 * (2n + 1)
Tu aurai dû me les envoyer par MP, j'aurais ainsi pu valider tes réponses et mettre ton avatar dans le premier post.
]
En fait, si l'on fait le bon raisonnement, cela marche avec n'importe quelle machine même les plus approximatives
Là, en lisant cela, je me suis dit que je n'était pas le seul à avoir de drôle de jeu...
Et oui, quel coup de maitre... en lisant ces lignes on pourrait croire que c'est facile... mais non qu'el brio.Schraf a écrit : ↑25 sept. 2021 15:32Et là on obtient une suite constante !
Donc, en remontant, on se retrouve avec une suite récurrente d'ordre 3 :
u(n+3) = 48 + 3 * u(n+2) - 3 * u(n+1) + u(n)
avec u(1)=288,u(2)=180 et u(3)=448
Un petit coup de Xcas (logiciel de calcul formel) :Et finalement on arrive à l'expression (valable pour n >= 2) :Code : Tout sélectionner
rsolve(u(n+3)=48+3*u(n+2)-3*u(n+1)+u(n),u(n),u(1)=288,u(2)=180,u(3)=448)
Code : Tout sélectionner
u(n) = 4 * (n + 1)^2 * (2n + 1)