Marge a écrit : ↑15 mars 2022 16:10Le résultat est imprimé sur un peu plus de 2 cm,
C.Ret.
Ah! Zut ! Elle consomme un peu de papier ta machine ! Remarque, je viens de mesurer, mon HP-82240A ne fait pas mieux !
Heureusement que je n'ai ps demandé de chercher les entiers positifs
n tels que
(n²+45045) soit un carré parfait !
- QDD - 45045.jpg (13.1 Kio) Vu 2970 fois
Sinon, j'aime bien l'approche de
Marge pour résoudre ce problème, même si dans un premier temps, j'ai abordé le problème de la même manière que
Scharf. Ce qui m'a fait un peu cogiter et j'ai finalement trouver une illustration qui illustre bien que les deux méthodes.
Cette Question Du Dimanche consistait donc à trouver les entiers positifs
n tels qu'il existe un entier
g tel que
(n²+220313)=g² et alternativement pour étrenner les systèmes les plus robustes trouver les entiers positifs
n' tels que
(n'²+20220313)=g'².
De l'équation initiale on déduit assez directement la relation suivante
220313 = g² - n² (1)
Que l'on s'empresse de transformer selon l'identité remarquable en
220313 = (g - n)(g + n) (2)
Donc trouver les solutions
n revient à énumérer les entiers
a et
b tels que
220313 = a × b (3)
avec
a≤b solutions du système
(4)
La relation (3) indique donc que les couples
(a,b) sont des diviseurs conjugués de la constante 220313 (alternativement 20220313). Ils sont conjugués, car
b = 200313 / a.
Trouver les solutions
n revient donc à énumérer les couples
(a,b) de diviseurs conjugués de 220313 (alternativement 20220313) avec
a≤b.
On peut donc optimiser la recherche en se limitant à la recherche des entiers diviseurs
a plus petit ou égaux à
√220313.
Par ailleurs, la relation (3) nous indique que comme 220313 (alternativement 20220313) est impair, alors le produit
a×b l'est aussi et donc nécessairement
a et
b sont impairs.
On peut donc, comme l'a fait spontanément
zpalm dans son code, se limiter à la recherche des entiers impairs diviseurs de 200313 (alternativement 20220313).
Mais alors, pourquoi les codes de
C.Ret ou
Scharf qui utilisent les fonctions intégrées à leur machine donnant directement la liste des diviseurs ne font-ils pas de test de parité ?
Parce que la nature est bien faite, si la constante
c est impair, elle ne peut être divisée par deux et elle n'admet donc aucun diviseurs pairs !
Voilà une vérification inutile que nos codes évitent bien innocemment.
D'où d'ailleurs le code que j'ai dû tapoter sur HP-41C pour les solutions de
(n²+20220313) qui perd un nombre non négligeable de pas afin de s'assurer que la recherche avance de deux en deux mais surtout commence avec une 'racine'
rrrr impaire :
Code : Tout sélectionner
01►LBL "QDD"
CLRG ENTER^ SQRT ENTER^ ENTER^ -2 MOD 1 + - 2 E-5 +
14►LBL 01
RCL Y RCL Y INT MOD X=0? XEQ 02 RDN DSE X GTO 01
"N=" ARCL 00 TONE 5 AVIEW RTN
29►LBL 02
X<> L ST/ T R^ -2 / ISG 00 PSE STO IND 00 VIEW X END
Comme un compteur au format
1.rrr02 pour un ISG X allant de deux en deux ne convient pas (car la racine 20220313 fait
~4496.7 ), l'idée est de construire un compteur au format
rrrr.ooo02 et d'utiliser un DSE X à la place. Mais il faut être sûr que
rrrr est impair.
La résolution du système d'équation (4) nous donne directement, pour chaque couple
(a,b) de diviseurs conjugués la valeur
n solution de
2×n = b - a (5)
Et c'est là, qu'en voyant la figure de
marge, j'ai dû un peu cogiter !
Quelle est la relation entre son schéma qui illustre bien le problème : on cherche à former un carré qui contient le carré
n² et la constante
220313 (alternativement 20220313).
Le système d'équation (4) donne bien la relation
g = a + ndirectement visible sur le schéma de
marge. Il suffit pour cela de réécrire
g - n = a en
g - n + n = a + n.
Mais, où se cache le second terme celui concernant le plus grand diviseur :
g + n = b ?
Il m'a fallu un peu de temps pour comprendre qu'initialement la constante
c (alternativement 220313 ou 20220313) est en fait un rectangle de coté
a et
b.
Et oui, c'est dit dans la relation (3), on a
220313 = a × b (alternativement
20220313 = a × b
Sur la figure ci-dessous il s'agit du rectangle bleu:
- QDD-20220313 (non assemblés).png (28.77 Kio) Vu 2982 fois
Le rectangle bleu doit être découpé en trois morceaux afin de venir se ranger dans le grand carré
g² le long du carré
n² : on a donc bien
b = n + a + n = a + 2×n c'est à dire exactement la relation (5).
Toutes ces manipulation un peu abstraites sont donc clairement illustrées par ce second schéma où les trois parties de la constante 220313 (alternativement 20220313) sont regroupées dans le grand carré
g².
- QDD-20220313(assemblés).png (31.87 Kio) Vu 2982 fois
Mais alors, pusiqu'il s'agit de géométrie, pourquoi ne pas proposer une solution sur l'outil géométrique d'une TI 92 II ?