Concernant l'intégration par partie, il faut pas aller jusqu'au bout. Ou pour être précis, il suffit de la faire une fois pour se rende compte que l'on "tourne en rond", car après avoir utilisé une fois l'intégration par partie, on remarque que l'on ne s'en sort pas car la partie 'intégrale' reste du même type. Mais avec un rang inférieur,
n devient
n-1.
On part de la définition de l'intégrale :
Le terme de l'intégrale étant un produit de fonctions continues, on se permet d'intégrer par partie, on utilisant les fonctions intermédiaires suivantes :
On obtient alors le développment suivant pour
I_n :
L'astuce consiste à reconnaitre
I_(n-1). Ce qui est une chance, car pour trouver une formule explicite, il faudrait appliquer n fois l'intégration par partie (or on ne connait pas
n !).
Donc la série
I_n est définie par une formule de récurrence.
On sait aussi que le premier terme de cette série est I_1 = 1 - 2/e
On obtinet donc bien en appliquant la formule de récurence tous les
I_n en les calculant dans l'ordre :
C'est aussi ici un bel excercice de programmation qui du fait de la récursivité est interessant à faire sur nos RPN classique (et comment accélérer le calcul sur les RPL et autre machines capable de supporter cette simple récurrence !).
Et, nous sommes d'accord et obtenons bien la même série :
Code:
In Expression Numérique
---- --------------- ---------
I1 1 - 2/e 0.26424 où e = exp(1) = 2.71828
I2 2 - 5/e 0.16060
I3 6 - 16/e 0.11393
I4 24 - 65/e 0.08784
I5 120 - 365/e 0.07130
I6 720 - 1957/e 0.05993
I7 5040 - 13700/e 0.05166
I8 40320 - 109601/e 0.04537
I9 326880 - 986410/e 0.04043
...
I13 6227020800-16926797486/e 0.03000
....
Ce qui confirme bien la formule de récurrence :
La factorielle est évidente :
I5 = 5.I4 - ... = 5.4.I3... = 5.4.3.I2 ... = 5.4.3.2.I1 - ....
Pour le coefficient devant 1/e, il faut faire de même, mais en développant:
I5 = 5.I4 - 1/e = 5.(4.I3-1/e) - 1/e = 5.(4.(3.I2-1/e) - 1/e) - 1/e = 5.(4.(3.(2.I1-1/e) - 1/e) - 1/e) - 1/e
Sachant que I1 = 1 - 2/e on a :
I5 = 5.(4.(3.(2.(1-2/e) - 1/e) - 1/e) - 1/e) - 1/e
I5 = 5.4.3.2.1 - 1/e - 5.1/e - 5.4.1/e - 5.4.3.1/e - 5.4.3.2.2/e
Notons que 5.4.3.2.2/e = 5.4.3.2.(1+1)/e = 5.4.3.2.1/e + 5.4.3.2.1/e
D'où
I5 = 5.4.3.2.1 - 1/e - 5.1/e - 5.4.1/e - 5.4.3.1/e - 5.4.3.2.1/e - 5.4.3.2.1/e
I5 = 5.4.3.2.1 - (1 + 5 + 5.4 + 5.4.3 + 5.4.3.2.1 + 5.4.3.2.1 )/e
Il doit y avoir moyen de factoriser par la factorielle :
I5 = 5.4.3.2.1 - (5.4.3.2.1/5/4/3/2/1 + 5.4.3.2.1/4/3/2/1 + 5.4.3.2.1/3/2/1 + 5.4.3.2.1/2/1 + 5.4.3.2.1/1 + 5.4.3.2.1/1 )/e
I5 = 5.4.3.2.1 * [ 1 - ( 1 / 5/4/3/2/1 + 1 / 4/3/2/1 + 1 / 3/2/1 + 1 / 2/1+ 1 / 1 + 1 / 1 )/e ]
I5 = 5! * [ 1 - ( 1/5! + 1/4! + 1/3! + 1/2! + 1/1! + 1/0! )/e ]
On retrouve bien la formule de récurrence générale :
CQFD
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